Por Adrián Paenza
¿Qué es este triángulo formado por números que parecen elegidos en forma caótica? Yo podría sugerirle que lo mire un rato y haga lo siguiente: trate de entretenerse con él. ¿Cómo?
Trate de descubrir leyes o patrones. Es decir, ¿estarán puestos los números al azar? ¿Habrá alguna relación entre ellos? Si bien uno advierte que hay un montón de números uno (de hecho, hay unos en los dos costados del triángulo), ¿cómo habrán hecho para construirlo?
Un poquito de historia. Este triángulo fue estudiado por Blaise Pascal, un matemático y filósofo francés que vivió solo 39 años (1623-1662), aunque en realidad, los que trabajan en historia de la ciencia, y más precisamente, en historia de la matemática, sostienen que el triángulo y sus propiedades fueron descriptas y eran conocidas ya por los chinos, en particular por el matemático Yanghui, algo así como 500 años antes que naciera Pascal, y también por el poeta y astrónomo persa, Omar Khayyám. Es más, en China, se lo conoce con el nombre del triángulo de Yanghui, y no el de Pascal, como en occidente.
Ahora, algunas observaciones. Como usted advierte, el triángulo queda simétrico. Es decir, da lo mismo leer cada fila desde la izquierda que desde la derecha. El número que aparece en cada fila, tiene dos números arriba de él. Si uno los suma, obtiene el de la fila de abajo. Así es como aparece el 2, porque tiene arriba dos números 1. De la misma forma busque el 10. Verá que tiene en la fila de arriba un 4 y un 6. Si los suma, obtiene 10. Por otro lado, fíjese en algunas diagonales. La primera, está compuesta por todos números uno. La segunda, está compuesta por todos los números naturales. Mire la tercera… {1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…} (*)
¿Qué números son éstos? ¿Piense si se le ocurre alguna manera de construirlos sin tener que recurrir al triángulo de Pascal? La sucesión (*) se obtiene, empezando con un número 1 y después, para obtener los siguientes, va sumando 2 (y obtiene el 3), después suma 3 (y obtiene el 6), suma 4 (y obtiene el 10) y así sucesivamente. Usted se preguntará: ¿Y esto para qué me sirve? Por ejemplo, supongamos que usted está invitado a una fiesta. Al llegar, cada persona saluda a los que ya llegaron, dándole la mano. La pregunta es, si en el salón hay en un determinado momento siete personas, ¿cuántos apretones de mano se dieron en total? ¿Quiere pensar usted y ver si descubre qué relación tiene con los números triangulares? Sigo yo: al llegar la primera persona, como no había nadie en el salón, no hay nada que contar. Cuando llega la segunda sin embargo, como adentro hay una persona, le da la mano, y ya tenemos uno para incorporar a nuestra lista. Ni bien llega la tercera persona, ésta tiene que darle la mano a las dos personas que hay adentro. Luego, en total, ya se dieron 3 apretones de mano: 1 que había en el momento que llegó la segunda persona y 2 ahora. Recuerde que vamos por tres apretones cuando hay tres personas en el salón. Cuando llegue la cuarta persona, ésta le tiene que dar la mano a las 3 que están adentro, por lo que sumadas a las tres que ya llevábamos, se tienen 6. Esto le muestra cómo esta parte del triángulo resuelve ese problema.
Por supuesto, entiendo perfectamente que nadie se pasa contando los apretones de manos, pero usted deduce que se puede usar también en otras circunstancias similares. Estos apretones de mano van reproduciendo los números triangulares que describí más arriba. Es decir, esa diagonal del triángulo de Pascal, sirve, en particular, para contar en determinadas situaciones.
Otra curiosidad. Volvamos a la misma diagonal que contiene a los números triangulares:
{1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,…}
Ahora, en lugar de restar un término menos al anterior, empiece a sumar de a dos los términos y a escribir los resultados:
1 + 3 = 4
3 + 6 = 9
6 + 10 = 16
10 + 15 = 25
15 + 21 = 36
21 + 28 = 49
28 + 36 = 64
36 + 45 = 81
45 + 55 = 100
Ahora que escribí varios términos, ¿le sugiere algo esto? Piénselo sola/solo primero y luego lea lo que sigue. ¿Le recuerdan algo estos números? Sigo. Justamente, los números que están en la columna de la derecha, son los cuadrados de los números naturales. Es decir de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
Supongamos que uno tiene cinco delanteros en un plantel de fútbol pero sólo usará dos para el partido del domingo ¿De cuántas formas los puede elegir? O un problema equivalente podría ser el siguiente: suponga que le ofrecen cinco entradas para ver espectáculos un determinado día de la semana, pero sólo puede comprar acceso a solamente dos ¿De cuántas formas puede seleccionar dónde ir? Como se ve, Yo podría seguir dando múltiples ejemplos que conducen todos al mismo lugar. Y la forma de pensar todos, en forma genérica, sería decir:
Si uno tiene un conjunto con cinco elementos ¿De cuántas formas se pueden elegir subconjuntos que contengan dos de esos cinco? Los voy a llamar {A,B,C,D,E} ¿De cuántas formas puede elegir subconjuntos de dos elementos, elegidos entre estos cinco? Esto sería equivalente, a elegir dos delanteros de los cinco, o bien, dos entradas para ver dos shows diferentes, elegidas entre las cinco posibles. Hagamos -juntos-ff la lista completa: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE y DE. Como usted ve, hay diez formas de elegirlos. Es decir, ¡hay diez formas de elegir subconjuntos de dos elementos seleccionados entre los cinco que hay! ¿Puedo pedirle que ahora vaya hasta el triángulo de Pascal, y se fije en la fila cinco y busque el elemento número tres? [2]Ahora sí, ¿cómo es la fila número cinco? Es: {1,5,10,5,1}
Por lo tanto, el elemento que lleva el número dos en la fila cinco es justamente el número diez, que contaba el número de subconjuntos de dos elementos elegidos entre cinco.
Hagamos -juntos- otro ejemplo. Si usted tiene seis camisas, y quiere elegir tres para llevarse en un viaje, ¿de cuántas formas posibles puede hacerlo? Primero, busque en el triángulo de Pascal qué número debería ser el resultado ¿Qué puede hacer? Busque en la fila seis el elemento que lleva el número tres (recordando que el uno inicial, es el número cero). Vaya a la fila número seis. Es ésta: {1,6,15,20,15,6,1}. Entonces, en esta fila, el elemento que lleva el número tres, que es el que estamos buscando, es el número 20. Le propongo que vaya usted y lo compruebe y verá que son 20 ¿Qué dice este número? Uno descubre que hay veinte maneras de elegir subconjuntos de tres elementos seleccionados de un conjunto que tiene seis.
Acá voy a parar -por ahora- porque no tengo más espacio, pero entreténgase mirando las diferentes diagonales, sumando filas u otras combinaciones y fíjese qué descubre usted. Eso tendrá mucho más valor que lo que pueda escribir yo, pero espero haberle dado una idea cómo algo tan banal puede producir tantos resultados diferentes y contestar tantas preguntas.
[1]Estos números, se llaman números triangulares.
[2]Recuerde que las filas las empezamos a contar con la fila cero, y que los elementos en cada fila los empezamos a contar desde el cero también. Es decir, el número uno con el que empieza cada fila, es el número cero de la fila.
